Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1 Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$ . Chứng minh rằng :

$ac+bd+cd\leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}$

Bài 2 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$ . Chứng minh rằng :

$5(a+b+c)+\dfrac{3}{abc}\geq 18$

Bài 3 Cho các số không âm $a,b,c$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng $0$ và thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{5}{2}$

Bài 4 Cho các số dương $a,b,c$ sao cho $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$1+\dfrac{3}{a+b+c}\geq \dfrac{6}{ab+bc+ca}$

Bài 5 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca+6abc=9$ . Chứng minh rằng :

$a+b+c+3abc\geq 6$

Bài 6 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$ . Chứng minh rằng :

$a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\leq 3$

Bài 7 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$ . Chứng minh rằng :

$a+b+c\leq 3$

Bài 8 Cho các số dương $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn $\dfrac{1}{1+x_1}+\dfrac{1}{1+x_2}+...+\dfrac{1}{1+x_n}=1$ . Chứng minh :

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\geq \left ( n-1 \right )\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x_1}} +\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right )$

Bài 9 Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $15a+\sqrt[3]{5}b+\sqrt[5]{3}c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^5}$

Bài 10 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P=x^2y^3z^4$

Bài 11 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$10a^2+10b^2+c^2\geq 4(ab+bc+ca)$

Bài 12 Cho các số dương $a,b,c$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{4ab+6ac+8bc}{(a+b+c)^2}$

Bài 13 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$F=x^4+2y^4+3z^4$

Bài 14 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{2}{3}\geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Bài 15 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{3}\geq \dfrac{8}{9}\left ( \dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right )$

Bài 16 Cho các số dương $v,l,t$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} \dfrac{2}{5}\leq t\leq min\left \{ v,l \right \}\\ vt\geq \dfrac{4}{5}\\ lt\geq \dfrac{1}{5} \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của :

$E(v,l,t)=\dfrac{1}{v}+\dfrac{2}{l}+\dfrac{3}{t}$

Bài 17 Cho các số không âm $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn $a_1a_2...a_k\geq \dfrac{1}{(2k)!},\;\forall k=\overline{1,n}$ . Chứng minh rằng :

$a_1+a_2+...a_n\geq \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+...+\dfrac{1}{2n}$

Bài 18 Cho các số thực $x,y,z$ mà $0<x<y\leq z\leq 1$ và thỏa mãn $3x+2y+z\leq 4$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=3x^3+2y^3+z^3$

Bài 19 Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a\geq b\geq c> 0$ và $\left\{\begin{matrix} x\geq a\\ x+y\geq a+b\\ x+y+z\geq a+b+c \end{matrix}\right.$ . Chứng minh rằng :

$x^2+y^2+z^2\geq a^2+b^2+c^2$

Bài 20 Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} 0< a\leq b\leq c\leq d \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 3\\ \dfrac{2}{b}+\dfrac{d}{c}\geq 2 \end{matrix}\right.$ . Chứng minh rằng :

$a^4+b^4+c^4-d^4\leq 17$

Bài 21 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

$P=\dfrac{a}{1+2b^3}+\dfrac{b}{1+2c^3}+\dfrac{c}{1+2a^3}$

Bài 22 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$ . Chứng minh rằng :

$a\sqrt{4-a^2}+b\sqrt{4-b^2}+c\sqrt{4-c^2}\leq 3\sqrt{3}$

Bài 23 Cho các số thực $a,b,c\geq 1$ và thỏa mãn $a+b+c+2=abc$ . Chứng minh rằng :

$bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}abc$

Bài 24 Cho các số thực $a,b,c\in \left ( 0,2 \right )$ và thỏa $ab+bc+ca+abc=4$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\leq 3\sqrt{3}$

Bài 25 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=xyz$ . Chứng minh rằng :

$xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}$

Bài 26 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=abc$ . Chứng minh rằng :

$(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)\leq \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}$

Bài 27 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy=1+z(x+y)$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{2xy(1+xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\dfrac{z}{1+z^2}$

Bài 28 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz+x+y-z=0$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P=\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{3}{y^2+1}-\dfrac{2}{z^2+1}$

Bài 29 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $6x+3y+2z=xyz$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P=\dfrac{x\sqrt{yz}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt[4]{(y^2+4)(z^2+9)}}$

Bài 30 Cho $k$ là số nguyên dương và $n$ số thực $a_1,a_2,...,a_n$ thỏa mãn :

$\dfrac{1}{1+a_1^{2k}}+\dfrac{1}{1+a_2^{2k}}+...\dfrac{1}{1+a_n^{2k}}=1$

Chứng minh rằng :

$a_1a_2...a_n\geq (n-1)^{n/2k}$

Bài 31 Trong các nghiệm $(x,y,z,t)$ của hệ $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=1\\ z^2+t^2=2\\ xt+yz\geq \sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Tìm nghiệm sao cho $y+t$ nhỏ nhất.

Bài 32 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\geq 4\left ( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \right )$

Bài 33 Cho các số thực dương $x,y,z$ sao cho $x(x+y+z)=3yz$ . Chứng minh rằng :

$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^3$

Bài 34 Cho các số thực dương $a,b,c$ mà $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}.\sqrt{\dfrac{1}{b}-1}+\sqrt{\dfrac{1}{b}-1}.\sqrt{\dfrac{1}{c}-1}+\sqrt{\dfrac{1}{c}-1}.\sqrt{\dfrac{1}{a}-1}\geq 6$

Bài 35 Cho các số không âm $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2+abc=4$ . Chứng minh rằng :

$0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

Bài 36 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$ . Chứng minh rằng :

$ab+bc+ca\leq \dfrac{3}{4}$

Bài 37 Cho các số thực $a,b,c\in \left ( 0,1 \right )$ và thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{1-a^2}+\dfrac{b}{1-b^2}+\dfrac{c}{1-c^2}\geq \dfrac{3}{4}\left ( \dfrac{1-a^2}{a}+\dfrac{1-b^2}{b}+\dfrac{1-c^2}{c} \right )$

Bài 38 Cho các số thực dương $x,y,z$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}\geq \sqrt{\dfrac{16(x+y+z)^3}{3(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Bài 39 Cho các số thực $a,b,c,d\in \left [ 0,1 \right ]$ . Chứng minh rằng

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d\geq 1$

Bài 40 Cho các số thực $a,b,c,d,e\in \left [ 0,1 \right ]$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{1+bcde}+\dfrac{b}{1+acde}+\dfrac{c}{1+abde}+\dfrac{d}{1+abce}+\dfrac{e}{1+abcd}\leq 1$

Bài 41 Cho các số thực $a,b,c\in \left [ 0,1 \right ]$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{b+c+1}+\dfrac{b}{c+a+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Bài 42 Cho các số dương $a,b,c,d,e\in \left [ p,q \right ]$ . Chứng minh rằng :

$(a+b+c+d+e)\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{e}\right )\leq 25+6\left ( \sqrt{\dfrac{p}{q}}-\sqrt{\dfrac{q}{p}} \right )^2$

Bài 43 Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+2y^2=3$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :

$P=\dfrac{x^2-xy}{x^2+1}$

Bài 44 Cho $x,y,z$ là các số thực. Chứng minh :

$\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \sqrt{z^2+zx+x^2}$

Bài 45 Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\geq \dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}$

Bài 46 Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta đều có :

$\dfrac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq \dfrac{3}{5}$

Bài 47 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\dfrac{3}{2}(a+b+c)}$

Bài 48 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh :

$abc+\sqrt[3]{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}\geq ab+bc+ca$

Bài 49 Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} 1\leq z\leq min\left \{ x,y \right \}\\ xz\geq 3\\ yz\geq 2 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\dfrac{30}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{2010}{z}$

Bài 50 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\dfrac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{abc}}\geq \dfrac{4}{3}(a+b+c)$

Bài 51 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{(a+b+c)^2}\geq \dfrac{7}{25}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+b+c} \right )^2$

Bài 52 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Bài 53 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(a^2+b^2+c^2)\left ( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )\geq a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bài 54 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

Bài 55 Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ , chứng minh BĐT :

$\dfrac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\dfrac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$

Bài 56 Cho ba số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$F=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài 57 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}+\dfrac{b+c+1}{b+c^{2}+a^{3}}+\dfrac{c+a+1}{c+a^{2}+b^{3}}\leq \dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Bài 58 Cho ba số thực dương thỏa mãn $abc=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của

$P=\cfrac{1}{a+b+4}+\cfrac{1}{b+c+4}+\cfrac{1}{c+a+4}$

Bài 59 Cho các số dương $x,y,z$ . Chứng minh rằng

$\dfrac{(x+1)(y+1)^{2}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\dfrac{(y+1)(z+1)^{2}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\dfrac{(z+1)(x+1)^{2}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}\geq x+y+z+3$ .

Bài 60 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh bất đẳng thức

$\dfrac{1}{a\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{b\sqrt{c+a}}+\dfrac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \dfrac{3}{\sqrt{2abc}}$

Bài 61 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=12$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$S=a\sqrt[3]{b^2+c^2}+b\sqrt[3]{c^2+a^2}+c\sqrt[3]{a^2+b^2}$

Bài 62 Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn $1$ . Đặt $S_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ . Chứng minh rằng

$S_n>n\left [ (n+1)^{\frac{1}{n}}-1 \right ]$

Bài 63 Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^5-z^2+3zx+6}}$

Bài 64 Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\dfrac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \dfrac{1}{2}$

Bài 65 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^4(a+b)}+\dfrac{1}{b^4(b+c)}+\dfrac{1}{c^4(c+a)}\geq \dfrac{3}{2}$

Bài 66 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ . Đặt :

$A=\dfrac{a}{b^2+b}+\dfrac{b}{c^2+c}+\dfrac{c}{a^2+a}$

$B=\dfrac{a}{b^3+b}+\dfrac{b}{c^3+c}+\dfrac{c}{a^3+a}$

$C=\dfrac{a}{b^3+b^2}+\dfrac{b}{c^3+c^2}+\dfrac{c}{a^3+a^2}$

Chứng minh rằng :

$Min\left \{ A,B,C\right \}\geq \dfrac{3}{2}$

Bài 67 Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+ab\geq c^2+2c$

Chứng minh rằng

$a^3+b^3\geq 2c^3$

Bài 68 Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn điều kiện $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{b^2(c+1)}+\dfrac{b}{c^2(a+1)}+\dfrac{c}{a^2(b+1)}\geq \dfrac{3}{2}$

Bài 69 Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Bài 70 Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Bài 71 Cho các số dương $x,y,z$ . Chứng minh :

$\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq 1$

Bài 72 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\leq 1$

Bài 73 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\sqrt{abc}$ . Chứng minh rằng :

$ab+bc+ca\geq 9(a+b+c)$

Bài 74 Cho các số dương $a,b,c$ và $2(ab+bc+ca)=3abc$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b^3+1}+1}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c^3+1}+1}\geq 3$

Bài 75 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=abc$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\dfrac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\dfrac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\geq \sqrt{3}$

Bài 76 Cho các số dương $a,b,c,d$ thỏa mãn $abcd=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}+\dfrac{1}{(1+d)^2}\geq 1$

Bài 77 Cho các số dương $x,y,z$ . Chứng minh rằng :

$\left ( \dfrac{x}{x+y} \right )^2+\left ( \dfrac{y}{y+z} \right )^2+\left ( \dfrac{z}{z+x} \right )^2\geq \dfrac{3}{4}$

$\left ( \dfrac{x}{x+y} \right )^3+\left ( \dfrac{y}{y+z} \right )^3+\left ( \dfrac{z}{z+x} \right )^3\geq \dfrac{3}{8}$

Bài 78 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh các BĐT sau :

$\dfrac{1}{a+b+c}\geq \dfrac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\dfrac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\dfrac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}$

$\dfrac{1}{a^2+ab+bc}+\dfrac{1}{b^2+bc+ca}+\dfrac{1}{c^2+ca+ab}\leq \left ( \dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca} \right )^2$

$\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}+\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}+\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Bài 79 Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=x+y+z+2$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^3+1}}\geq 1$

Bài 80 Cho các số dương $a,b,c$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{(a+b)^2}{(b+3c+2a)(2b+3c+a)}+\dfrac{(b+c)^2}{(c+3a+2b)(2c+3a+b)}+\dfrac{(c+a)^2}{(a+3b+2c)(2a+3b+c)}$

Bài 81 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^2(1+a)}+\dfrac{1}{b^2(1+b)}+\dfrac{1}{c^2(1+c)}\geq \dfrac{3}{4abc}$

Bài 82 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=xyz$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{y^2+1}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\leq xyz$

Bài 83 Cho ba số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}$

Bài 84 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{c^3+(a+b)^3}}\geq 1$

Bài 85 Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=9xy+10yz+11zx$

Bài 86 Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng :

$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\geq a+b+c+\dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+\dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+\dfrac{1}{a+b}(c-a)^2$

Bài 87 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\geq 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

Bài 88 Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\leq 1$ và $\dfrac{4}{z}+y\leq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=x+9y+z$

Bài 89 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^5(b+2c)^2}+\dfrac{1}{b^5(c+2a)^2}+\dfrac{1}{c^5(a+2b)^2}\geq \dfrac{1}{3}$

Bài 90 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^3b}+\dfrac{1}{b^3c}+\dfrac{1}{c^3a}\geq 3$

Bài 91 Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh :

$\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1$

Bài 92 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=3$ . Chứng minh :

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+5\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

Bài 93 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca}\leq \dfrac{9}{2(1+9abc-a-b-c)}$

Bài 94 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+2b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+b+2c)^2}\leq \dfrac{3}{16}$

Bài 95 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq 9$

Bài 96 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{z+x}}\leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}$

Bài 97 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}+\dfrac{1}{(b+1)^2(c+a)}+\dfrac{1}{(c+1)^2(a+b)}\leq \dfrac{3}{8}$

Bài 98 Cho các số thực dương $x,y,z$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\dfrac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$

Bài 99 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{(a+b)^3}{\sqrt[3]{2(a+b)(a^2+b^2)}}+\dfrac{(b+c)^3}{\sqrt[3]{2(b+c)(b^2+c^2)}}+\dfrac{(c+a)^3}{\sqrt[3]{2(c+a)(c^2+a^2)}}\geq 12$

Bài 100 Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{a^3}{c(a^2+bc)}+\dfrac{b^3}{a(b^2+ca)}+\dfrac{c^3}{b(c^2+ab)}\geq \dfrac{3}{2}$

Huy Cao's Blog

Opportunity is the thing that I create for myself

Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Leave a comment Cancel reply

DANH SÁCH TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Share this:

Related

Leave a comment Cancel reply