[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

By

Bài toán : Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=xyz. Chứng minh bất đẳng thức :

xy+yz+zx\geq 3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}

Lời giải :

Từ giả thiết, ta có quyền đổi biến số \left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( tanA,tanB,tanC \right ) với A+B+C=\pi.

Khi đó dễ thấy \sqrt{x^2+1}=\sqrt{tan^2A+1}=\sqrt{\dfrac{1}{cos^2A}}=\dfrac{1}{cosA}

Cần chứng minh :

tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\geq 3+\dfrac{1}{cosA}+\dfrac{1}{cosB}+\dfrac{1}{cosC}

Đặt tan\dfrac{A}{2}=a,tan\dfrac{B}{2}=b,tan\dfrac{C}{2}=c\Rightarrow ab+bc+ca=1

Khi đó ta có tanA=\dfrac{2a}{1-a^2},cosA=\dfrac{1-a^2}{1+a^2}

Như vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức :

\dfrac{4ab}{(1-a^2)(1-b^2)}+\dfrac{4bc}{(1-b^2)(1-c^2)}+\dfrac{4ca}{(1-c^2)(1-a^2)}\geq 3+\dfrac{1+a^2}{1-a^2}+\dfrac{1+b^2}{1-b^2}+\dfrac{1+c^2}{1-c^2}\Leftrightarrow 4ab(1-c^2)+4bc(1-a^2)+4ca(1-b^2)\geq 3(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)+(1+a^2)(1-b^2)(1-c^2)+(1+b^2)(1-a^2)(1-c^2)+(1+c^2)(1-a^2)(1-b^2)\Leftrightarrow 4-4abc(a+b+c)\geq 6-4(a^2+b^2+c^2)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 1+(ab+bc+ca)^2 =2\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^2\geq 1

Điều này hiển nhiên đúng vì ta có a^{2}+b^{2}+c^2\geq ab+bc+ca=1

Như vậy thì ta có điều phải chứng minh.

One thought on “[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment