Inequality

By

Bài toán : Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P=9xy+10yz+11zx

Lời giải :

Thay z=1-x-y vào P :

P=9xy+z(10y+11x)=9xy+(1-x-y)(10y+11x)=-11x^2-10y^2-xy+11x+10y

Hay :

11x^2x+x(12y-11)+10y^2-10y+P=0

Coi đây là một tam thức bậc hai theo ẩn x, điều kiện để tồn tại x là :

\Delta =(12y-11)^2-44(10y^2-10y+P)\geq 0\Leftrightarrow P\leq \dfrac{-296y^2+176y+121}{44}=-\dfrac{74}{11}\left ( y^2-\dfrac{22}{37}y-\dfrac{121}{296} \right )

Mặt khác sử dụng phương pháp phân tích bình phương, ta được :

y^2-\dfrac{22}{37}y-\dfrac{121}{296} \geq \dfrac{-5445}{10952}

Ta suy ra :

P\leq \dfrac{495}{148}

Kết luận : MaxP=\dfrac{495}{148}\Leftrightarrow y=11/37,x=25/74,z=27/74

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment