Inequality

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng)

Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng :

\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\geq a+b+c+\dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+\dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+\dfrac{1}{a+b}(c-a)^2

Lời giải :

Chú ý rằng ta có :

\dfrac{a^2}{b}+b-2a=\dfrac{(a-b)^2}{b}

Từ đó ta xây dựng được đẳng thức :

\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}-(a+b+c)=\dfrac{(a-b)^2}{b}+\dfrac{(b-c)^2}{c}+\dfrac{(c-a)^2}{a}

Như vậy điều cần chứng minh có thể viết dưới dạng :

\dfrac{(a-b)^2}{b}+\dfrac{(b-c)^2}{c}+\dfrac{(c-a)^2}{a}\geq \dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+\dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+\dfrac{1}{a+b}(c-a)^2\Leftrightarrow \Leftrightarrow \dfrac{c}{b+c}(a-b)^2+\dfrac{a}{c+a}(b-c)^2+\dfrac{b}{a+b}(c-a)^2\geq 0

Điều này là hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment