Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\geq 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$

Lời giải 1 :

Các đại lượng trong bài toán làm ta liên tưởng đến ngay phương pháp S-S :

Thật vậy, chú ý các đẳng thức :

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}- 3=\dfrac{2(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}+\dfrac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}(a-c)(b-c)$

Và :

$\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}=\dfrac{2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{(a+b+c)^2}=\dfrac{2(a-b)^2+2(a-c)(b-c)}{(a+b+c)^2}$

Do vậy ta đi chứng minh :

$\dfrac{2(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}+\dfrac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}(a-c)(b-c)\geq \dfrac{2(a-b)^2+2(a-c)(b-c)}{(a+b+c)^2}\Leftrightarrow M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)\geq 0$

Trong đó :

$M=\dfrac{2}{(a+c)(b+c)}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2},N=\dfrac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2}$

Dễ dàng thấy :

$M=\dfrac{2}{(a+c)(b+c)}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2}=\dfrac{2(a^2+b^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2(a+c)(b+c)}>0$

và :

$N=\dfrac{a+b+2c}{(a+b)(b+c)(c+a)}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2}\geq \dfrac{a+b+2c}{\left ( \frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3} \right )^3}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2}=\dfrac{27(a+b+2c)}{8(a+b+c)^3}>\dfrac{27(a+b+c)}{8(a+b+c)^3}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2}=\dfrac{27}{8(a+b+c)^2}-\dfrac{2}{(a+b+c)^2}>0$