Inequality

By

Bài toán (China TST 2004) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn abcd=1. Chứng minh rằng :

\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}+\dfrac{1}{(1+d)^2}\geq 1

Lời giải :

Bổ đề : Với các số thực dương a,b,c thì :

\dfrac{1}{(a+b)^2}+\dfrac{1}{(a+c)^2}\geq \dfrac{1}{a^2+bc}

Chứng minh bổ đề :

Theo BĐT Cauchy-Schwarz :

(a^2+bc)\left ( 1+\dfrac{b}{c} \right )\geq (a+b)^2\Rightarrow \dfrac{1}{(a+b)^2}\geq \dfrac{c}{(b+c)(a^2+bc)}

Tương tự thì \dfrac{1}{(a+c)^2}\geq \dfrac{b}{(b+c)(a^2+bc)}

Từ đó bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Áp dụng bổ đề ta được :

\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2}+\dfrac{1}{(1+c)^2}+\dfrac{1}{(1+d)^2}\geq \dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{2+ab+cd}{(1+ab)(1+cd)}=\dfrac{2+ab+cd}{2+ab+cd}=1

Bài toán chứng minh hoàn tất.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment