Inequality

By

Bài toán : Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn a^2+b^2=1 và c+d=3. Chứng minh rằng :

ac+bd+cd\leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}

Lời giải : 

Thay d=3-c ta viết biểu thức vế trái thành một tam thức bậc hai ẩn c :

f(c)=ac+b(3-c)+c(3-c)=-c^2-c(b-a-3)+3b

Sử dụng tính chất f(x)=Ax^2+Bx+C\leq \dfrac{4AC-B^2}{4A} ta được :

f(c)\leq \dfrac{-12b-(b-a-3)^2}{-4}=\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}

Vậy cần chỉ ra rằng

\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}\leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow 12b+(a-b)^2+6(a-b)+9\leq 9+6\sqrt{2}\Leftrightarrow (a^2+b^2)+6(a+b)-2ab\leq 6\sqrt{2}\Leftrightarrow 6(a+b)-2ab\leq 6\sqrt{2}-1

Mà 2ab=(a+b)^2-a^2-b^2=(a+b)^2-1 nên chứng minh :

-(a+b)^2+6(a+b)+2-6\sqrt{2}\leq 0\Leftrightarrow a+b\leq \sqrt{2}\;\vee \;a+b\geq 6-\sqrt{2}

Hiển nhiên vì a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment