Inequality

By

Bài toán : Cho các số dương a,b,c và 2(ab+bc+ca)=3abc. Chứng minh rằng :

\dfrac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}+\dfrac{b^2}{\sqrt{b^3+1}+1}+\dfrac{c^2}{\sqrt{c^3+1}+1}\geq 3

Lời giải :

Theo BĐT AM-GM :

\dfrac{a^2}{\sqrt{a^3+1}+1}=\dfrac{a^2}{\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)}+1}\geq \dfrac{a^2}{\dfrac{(a+1)+(a^2-a+1)}{2}+1}=\dfrac{2a^2}{a^2+4}

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, ta dẫn đến cần phải chứng minh :

\dfrac{a^2}{a^2+4}+\dfrac{b^2}{b^2+4}+\dfrac{c^2}{c^2+4}\geq \dfrac{3}{2}

Đặt x=\dfrac{2}{a},y=\dfrac{2}{b},z=\dfrac{2}{c} thì :

2(ab+bc+ca)=3abc\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z=3

Và cần chứng minh :

\dfrac{(2/x)^2}{(2/x)^2+4}+\dfrac{(2/y)^2}{(2/y)^2+4}+\dfrac{(2/z)^2}{(2/z)^2+4}\geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\geq \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\leq \dfrac{3}{2}

Điều này luôn đúng vì :

\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\leq\dfrac{x^2}{2x}+\dfrac{y^2}{2y}+\dfrac{z^2}{2z}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment