Inequality

By

Bài toán : Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xy=1+z(x+y). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P=\dfrac{2xy(1+xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}+\dfrac{z}{1+z^2}

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết thành \dfrac{1}{xy}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}=1.

Điều này cho ta quyền đổi biến \dfrac{1}{x}=tan\dfrac{A}{2},\dfrac{1}{y}=tan\dfrac{B}{2},z=tan\dfrac{C}{2} với A+B+C=\pi.

Khi đó :

P=\dfrac{2\left ( 1+\dfrac{1}{xy} \right )}{\left ( 1+\dfrac{1}{x^2} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{y^2} \right )}+\dfrac{z}{1+z^2}\leq \dfrac{1}{1+tan^{2}\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{1+tan^{2}\dfrac{B}{2}}+\dfrac{tan\dfrac{C}{2}}{1+tan^{2}\dfrac{C}{2}}=cos^{2}\dfrac{A}{2}+cos^{2}\dfrac{B}{2}+\dfrac{sinC}{2}=1+\dfrac{1}{2}(cosA+cosB+sinC)

Ta có :

cosA+cosB+sinC+sin\dfrac{\pi }{k}=2cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2}+2sin\dfrac{C+\dfrac{\pi }{k}}{2}.cos\dfrac{C-\dfrac{\pi }{k}}{2}

Ta phải đánh giá sin\dfrac{C+\dfrac{\pi }{k}}{2}\leq 1 thay vì cos\dfrac{C-\dfrac{\pi }{k}}{2}\leq 1 vì khi đó biểu thức còn lại sẽ ở dưới dạng cos+sin và không thể áp dụng được công thức biến đổi tổng thành tích.

Như vậy, theo nhận xét trên ta có :

cosA+cosB+sinC+sin\dfrac{\pi }{k}=2cos\dfrac{A+B}{2}cos\dfrac{A-B}{2}+2sin\dfrac{C+\dfrac{\pi }{k}}{2}.cos\dfrac{C-\dfrac{\pi }{k}}{2}\leq 2cos\dfrac{A+B}{2}+2cos\dfrac{C-\dfrac{\pi }{k}}{2}=4.cos\dfrac{(A+B+C)-\pi /k}{4}.cos\dfrac{A+B-C+\dfrac{\pi }{k}}{4}\leq 4.cos\dfrac{A+B+C-\pi /k}{2}=4.cos\dfrac{\pi -\pi /k}{4}

Sở dĩ có đánh giá cos\dfrac{A+B-C+\pi /k}{2}\leq 1 là vì cos\dfrac{A+B+C-\pi /k}{2}=const.

Như vậy dấu bằng xảy ra tại các điểm sau :

sin\frac{C+\pi /k}{2}=1,cos\dfrac{A-B}{2}=1,cos\frac{A+B-C+\pi /k}{4}=1\Rightarrow C=\pi -\dfrac{\pi }{k}=\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{\pi }{2k}\Rightarrow k=3

Từ đó :

cosA+cosB+sinC+sin\dfrac{\pi }{3}\leq 4.cos\dfrac{\pi -\dfrac{\pi }{3}}{4}=2\sqrt{3}\Rightarrow cosA+cosB+sinC\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}

Dẫn đến :

P\leq \dfrac{4+3\sqrt{3}}{4}

Kết luận : MaxP=\dfrac{4+3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow A=B=30^{0},C=120^{0}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}},z=\sqrt{3}