Inequality

By

Bài toán (Japan MO 1997) 

 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có :

\dfrac{(b+c-a)^2}{a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(c+a-b)^2}{b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(a+b-c)^2}{c^2+(a+b)^2}\geq \dfrac{3}{5}

Lời giải :

Do tính thuần nhất của bất đẳng thức mà ta có thể chuẩn hóa a+b+c=1. Khi đó ta viết BĐT thành :

\dfrac{(2a-1)^2}{a^2+(1-a)^2}+\dfrac{(2b-1)^2}{b^2+(1-b)^2}+\dfrac{(2c-1)^2}{c^2+(1-c)^2}\geq \dfrac{3}{5}\Leftrightarrow \dfrac{(2a-1)^2}{2a^2-2a+1}+\dfrac{(2b-1)^2}{2b^2-2b+1}+\dfrac{(2c-1)^2}{2c^2-2c+1}\geq \dfrac{3}{5}

Theo nguyên lí Dirichlet ta có :

\left ( b-\dfrac{1}{3} \right )\left ( c-\dfrac{1}{3} \right )\geq 0\Rightarrow b^2+c^2=\left ( b+c-\dfrac{1}{3} \right )^2+\dfrac{1}{9}-2\left ( b-\dfrac{1}{3} \right )\left ( c-\dfrac{1}{3} \right )\leq \left ( b+c-\dfrac{1}{3} \right )^2+\dfrac{1}{9}=\left ( \dfrac{2}{3} -a\right )^2+\dfrac{1}{9}

Theo BĐT Cauchy-Schwarz :

\dfrac{(2b-1)^2}{2b^2-2b+1}+\dfrac{(2c-1)^2}{2c^2-2c+1}\geq \dfrac{(2b+2c-2)^2}{2(b^2+c^2)-2(b+c)+2}=\dfrac{2a^2}{(b^2+c^2)+a}\geq \dfrac{2a^2}{\dfrac{1}{9}+\left ( \dfrac{2}{3} -a\right )^2+a}=\dfrac{18a^2}{9a^2-3a+5}

Công việc còn lại là chứng minh :

\dfrac{18a^2}{9a^2-3a+5}\geq \dfrac{3}{5}-\dfrac{(2a-1)^2}{2a^2-2a+1}\Leftrightarrow (3a-1)^2(17a^2-8a+5)\geq 0

Điều này hiển nhiên đúng.

Ta có điều phải chứng minh.

 

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment