Inequality

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=xyz$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{y^2+1}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\leq xyz$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=1$ và cần chứng minh :

$\dfrac{1}{x}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}+\dfrac{1}{y}+\sqrt{1+\dfrac{1}{y^2}}+\dfrac{1}{z}+\sqrt{1+\dfrac{1}{z^2}}\leq xyz$

Ta đặt $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}\rightarrow ab+bc+ca=1$ . Cần chứng minh :

$(a+b+c)+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \dfrac{1}{abc}$

Thật vậy,

Theo $AM-GM$ :

$\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \dfrac{2a+b+c}{2}$

Do đó :

$(a+b+c)+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq (a+b+c)+\dfrac{2a+b+c}{2}+\dfrac{a+2b+c}{2}+\dfrac{a+b+2c}{2}=3(a+b+c)$

Tức là chỉ cần chứng minh :

$3(a+b+c)\leq \dfrac{1}{abc}\Leftrightarrow 3abc(a+b+c)\leq (ab+bc+ca)^2\Leftrightarrow (ab-bc)^2+(bc-ca)^2+(ca-ab)^2\geq 0$

Điều này luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.

Huy Cao's Blog