Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{a^2(1+a)}+\dfrac{1}{b^2(1+b)}+\dfrac{1}{c^2(1+c)}\geq \dfrac{3}{4abc}$

Lời giải :

Nhân hai vế của BĐT cần chứng minh với $a^2b^2c^2$ ta cần chỉ ra :

$\dfrac{b^2c^2}{1+a}+\dfrac{c^2a^2}{1+b}+\dfrac{a^2b^2}{1+c}\geq \dfrac{3abc}{4}$

Điều này hiển nhiên đúng theo $Cauchy-Schwarz$ :

$\dfrac{b^2c^2}{1+a}+\dfrac{c^2a^2}{1+b}+\dfrac{a^2b^2}{1+c}\geq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3+a+b+c}\geq \dfrac{3abc(a+b+c)}{3+a+b+c}=\dfrac{3abc}{4}$

Ta được điều phải chứng minh.

Huy Cao's Blog