Inequality

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang)

Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng :

\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}

Lời giải :

Trước hết dễ dàng thấy với các số dương x,y,z mà x<y thì \dfrac{x}{y}<\dfrac{x+z}{y+z}. Áp dụng tính chất này ta có :

\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}

Tương tự với hai phân thức còn lại ta suy ra :

\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<\dfrac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\;\;\;\;(1)

Mặt khác, theo BĐT AM-GM :

\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}=\dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}}+\dfrac{b}{\sqrt{b(c+a)}}+\dfrac{c}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \dfrac{a+b+c}{\dfrac{a+b+c}{2}}=2\;\;\;\;(2)

Từ (1)(2) ta được điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment