Inequality

By

Bài toán (APMO 2002)

Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1. Chứng minh rằng :

\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\geq \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}

Lời giải :

Ta đặt \dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c=1

Khi đó ta phải chứng minh :

\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{bc}}+\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ca}}+\sqrt{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}}\geq \sqrt{\dfrac{1}{abc}}+\sqrt{\dfrac{1}{a}}+\sqrt{\dfrac{1}{b}}+\sqrt{\dfrac{1}{c}}\Leftrightarrow \sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}

Thật vậy, sử dụng giả thiết và BĐT Cauchy-Schwarz :

\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq a+\sqrt{bc}

Tương tự với các BĐT còn lại, sau đó cộng vế :

\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment