Inequality

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz+x+y-z=0$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P=\dfrac{2}{x^2+1}+\dfrac{3}{y^2+1}-\dfrac{2}{z^2+1}$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết thành : $xy+\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}=1$

Do vậy ta đặt $x=tan\dfrac{A}{2},y=tan\dfrac{B}{2},\dfrac{1}{z}=tan\dfrac{C}{2}$ với $A+B+C=\pi$ .

Khi đó :

$P=\frac{2}{1+x^2}+\dfrac{3}{1+y^2}-\dfrac{\dfrac{2}{z^2}}{1+\dfrac{1}{z^2}}=\dfrac{2}{1+tan^{2}\dfrac{A}{2}}+\dfrac{3}{1+tan^{2}\dfrac{B}{2}}-\frac{2.tan^{2}\dfrac{C}{2}}{1+tan^{2}\dfrac{C}{2}}=2cos^{2}\dfrac{A}{2}+3cos^{2}\dfrac{B}{2}-2sin^{2}\dfrac{C}{2}=(cosA+cosC)-3sin^{2}\dfrac{B}{2}+3=2cos\dfrac{A-C}{2}.cos\dfrac{A+C}{2}-3sin^{2}\dfrac{B}{2}+3\leq -3sin^{2}\dfrac{B}{2}+2sin\dfrac{B}{2}+3=-3\left ( sin\dfrac{B}{2}-\dfrac{1}{3} \right )^2+\dfrac{10}{3}\leq \dfrac{10}{3}$

Kết luận :

$MaxP=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}},y=\dfrac{\sqrt{2}}{4},z=\sqrt{2}$

Huy Cao's Blog

Opportunity is the thing that I create for myself

Inequality

One thought on “Inequality”

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

One thought on “Inequality”

Leave a comment Cancel reply