Inequality

Bài toán : (CĐT HSG toán 10 năm 2013-2014 THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x^2+y^2+z^2=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$P=x^2y^3z^4$

Tìm kiếm lời giải :

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=a,y=b,z=c$ ta có $a^2+b^2+c^2=1$ .

Theo BĐT $AM-GM$ :

$\dfrac{2x}{a}+\dfrac{3y}{b}+\dfrac{4z}{c}\geq 9.\sqrt[9]{\dfrac{x^2y^3z^4}{a^2b^3c^4}}$

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left ( \dfrac{4}{a^2} +\dfrac{9}{b^2}+ \dfrac{16}{c^2}\right )\geq \left ( \dfrac{2x}{a}+\dfrac{3y}{b}+ \dfrac{4z}{c}\right )^{2}$

Ở đây thì đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{ax}{2}=\dfrac{by}{3}=\dfrac{cz}{4}\Leftrightarrow \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{b^2}{3}=\dfrac{c^2}{4}$

Như vậy ta chọn $a,b,c$ thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=1\\ \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{b^2}{3}=\dfrac{c^2}{4} \end{matrix}\right.\Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{2}}{3},b=\dfrac{\sqrt{3}}{3},c=\dfrac{2}{3}$

Từ đó dẫn đến lời giải bài toán.

Lời giải :

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$\dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}}+\dfrac{3y}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}+\dfrac{4z}{\dfrac{2}{3}}\geq 9.\sqrt[9]{\frac{x^2y^3z^4}{\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right )^2\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )^3\left ( \dfrac{2}{3} \right )^4}}\;\;\;(1)$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\left ( x^2+y^2+z^2 \right )\left [ \left ( \dfrac{2}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}} \right )^2+\left ( \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}} \right )^2+\left ( \dfrac{4}{\dfrac{2}{3}} \right )^2 \right ]\geq \left ( \dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}} +\dfrac{3y}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}+ \dfrac{4z}{\dfrac{2}{3}}\right )^2\Rightarrow \dfrac{2x}{\dfrac{\sqrt{2}}{3}} +\dfrac{3y}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}+ \dfrac{4z}{\dfrac{2}{3}}\leq 9\;\;\;(2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $x^2y^3z^4\leq \left ( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \right )^2\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )^3\left ( \dfrac{2}{3} \right )^4=\dfrac{32\sqrt{3}}{6561}$