Inequality

Bài toán (Tuyển sinh Đại học khối A năm 2009)

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa $x(x+y+z)=3yz$ . Chứng minh rằng :

$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\leq 5(y+z)^3$

Lời giải :

Đặt $a=y+z,b=x+z,c=x+y$ thì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh một tam giác.

Dễ tính được $x=\dfrac{b+c-a}{2},y=\dfrac{c+a-b}{2},z=\dfrac{a+b-c}{2},x+y+z=\dfrac{a+b+c}{2}$

Khi ấy, giả thiết trở thành :

$(b+c-a)(a+b+c)=3(c+a-b)(a+b-c)\Leftrightarrow (b+c)^2-a^2=3a^2-3(b-c)^2\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc$

Điều kiện này cho ta thấy tam giác $ABC$ có ba cạnh tương ứng $a,b,c$ và góc $A$ thỏa $cosA=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow A=60^0$

Ta cần chứng minh :

$b^3+c^3+3abc\leq 5a^3\Leftrightarrow (b+c)(b^2-bc+c^2)+3abc=a^2(b+c)+3abc\leq 5a^3\Leftrightarrow a(b+c)+3bc\leq 5a^2$

Theo định lí sin ta cần chứng minh :

$sinA(sinB+sinC)+3sinBsinC\leq 5sin^2A\Leftrightarrow 2\sqrt{3}(sinB+sinC)+12sinBsinC\leq 15$

Mà :

$sinB+sinC=2sin\dfrac{B+C}{2}cos\dfrac{B-C}{2}\leq 2cos\dfrac{\pi -A}{2}=\sqrt{3}$

và $sinB.sinC\leq \dfrac{1}{4}\left ( sinB+sinC \right )^2=\dfrac{3}{4}$

Từ đó dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

Huy Cao's Blog