Inequality

Bài toán (Mircea Lascu) Cho các số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}+\dfrac{a+b}{c}\geq 4\left ( \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \right )$

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$ .

Điều này có thể viết thành :

$\sqrt{\dfrac{ca}{b}.\dfrac{ab}{c}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ca}{b}}=1$

Ta đặt $x=\sqrt{\dfrac{bc}{a}},y=\sqrt{\dfrac{ca}{b}},z=\sqrt{\dfrac{ab}{c}}$ thì $xy+yz+zx=1$ .

Lúc này ta được $c=xy,b=yz,c=zx$ . Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành :

$\dfrac{yz+zx}{xy}+\dfrac{zx+xy}{yz}+\dfrac{xy+yz}{zx}\geq 4\left ( \dfrac{xy}{yz+zx}+\dfrac{yz}{zx+xy}+\dfrac{zx}{xy+yz} \right )$

Vì giả thiết $xy+yz+zx=1$ nên ta dùng phép thế lượng giác :

$\left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( tan\dfrac{A}{2},tan\dfrac{B}{2},tan\dfrac{C}{2} \right ),\;A+B+C=\pi$

Khi ấy :

$\dfrac{yz+zx}{xy}=\dfrac{tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}.tan\dfrac{A}{2}}{tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}}=\dfrac{tan\dfrac{C}{2}}{tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}}.\left ( tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2} \right )=\dfrac{sinC/2}{cosC/2}.\dfrac{cosA/2.cosB/2}{sinA/2.sinB/2}.\dfrac{sin\left ( \dfrac{A+B}{2} \right )}{cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}}=\dfrac{sin\dfrac{C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}}$

Tương tự với hai biểu thức còn lại. Do vậy ta cần chứng minh :

$\underset{cyc}{\sum}\; \dfrac{sin\dfrac{C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}}\geq 4\underset{cyc}{\sum }\;\dfrac{sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum} \;sin^{2}\dfrac{A}{2}\geq 4\underset{cyc}{\sum} \;sin^{2}\dfrac{B}{2}sin^{2}\dfrac{C}{2}$

Mặt khác để ý rằng vì $x=tan\dfrac{A}{2}\Rightarrow sin^2\dfrac{A}{2}=\dfrac{x^2}{1+x^2}$ . Tương tự với $y,z$ .

Do vậy ta chứng minh :

$\dfrac{x^2}{1+x^2}+\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\geq 4\underset{cyc}{\sum} \;\dfrac{x^2y^2}{(1+x^2)(1+y^2)}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum} x^2(1+y^2)(1+z^2)\geq 4\underset{cyc}{\sum} \;x^2y^2(1+z^2)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3x^2y^2z^2\geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+12x^2y^2z^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+9x^2y^2z^2\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)\geq 2\left [ (xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z) \right ]+9x^2y^2z^2\Leftrightarrow (x+y+z)^2+4xyz(x+y+z)\geq 9x^2y^2z^2+4$