Inequality

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu)

Cho các số thực x,y thỏa mãn x^2+2y^2=3. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :

P=\dfrac{x^2-xy}{x^2+1}

Lời giải :

Xét y=0 ta được x=\pm \sqrt{3}. Thay vào ta được P= \dfrac{3}{4}

Ta có :

P=\dfrac{3x^2-3xy}{3x^2+3}=\dfrac{3x^2-3xy}{4x^2+2y^2}=\dfrac{3\left ( \dfrac{x}{y} \right )^2-3.\dfrac{x}{y}}{4\left ( \dfrac{x}{y} \right )^2+2}=\dfrac{3t^2-3t}{4t^2+2}

Ta viết dưới dạng một phương trình bậc hai ẩn t và tham số P :

(4P-3)t^2+3t+2P=0

Phương trình này có \Delta =3^2-4(4P-3).2P=-32P^2+24P+9

Để phương trình này có nghiệm thì \Delta \geq 0\Leftrightarrow -32P^2+24P+9\geq 0\Leftrightarrow \dfrac{3-3\sqrt{3}}{8}\leq P\leq \dfrac{3+3\sqrt{3}}{8}

Nhận thấy \dfrac{3-3\sqrt{3}}{8}\leq \dfrac{3}{4} và \dfrac{3+3\sqrt{3}}{8}\geq \dfrac{3}{4}

Nên :

MinP=\dfrac{3-3\sqrt{3}}{8}\Leftrightarrow t=\dfrac{x}{y}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},x^2+2y^2=3, hệ này chắc chắn có nghiệm.

MaxP=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{8}\Leftrightarrow t=\dfrac{x}{y}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2},x^2+2y^2=3, hệ này chắc chắn có nghiệm.

2 thoughts on “Inequality”

  2. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment