Bài toán [Nguyên lí Dirichlet trong chứng minh BĐT]

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$abc+\sqrt[3]{(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)}\geq ab+bc+ca$

Lời giải :

Áp dụng BĐT $Holder$ :

$(1+a^{3})(1+b^{3})(c^{3}+1)\geq (c+ab)^{3}\Rightarrow \sqrt[3]{(1+a^{3})(1+b^{3})(1+c^{3})}\geq ab+c$

Do đó ta chỉ cần chứng minh :

$abc+ab+c\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow abc+c\geq bc+ca\Leftrightarrow ab+1\geq a+b\Leftrightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

Theo nguyên lí $Dirichlet$ thì tồn tại hai trong ba số $a-1;b-1;c-1$ có cùng dấu. Gỉa sử $a-1;b-1$ cùng dấu thì ta có : $(a-1)(b-1)\geq 0$

Đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ .

Huy Cao's Blog