Bài toán [Bất đẳng thức]

Bài toán (THTT số 241) : Cho ba số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x^{1997}+y^{1997}+z^{1997}=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Lời giải :

Áp dụng BĐT $Holder$ :

$\underset{998}{\underbrace{(1+1+1)(1+1+1)...(1+1+1)}}(x^{1998}+y^{1998}+z^{1998})\geq \left ( \sqrt[999]{x^{1998}}+\sqrt[999]{y^{1998}}+\sqrt[999]{z^{1998}} \right )^{999}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{999}\Leftrightarrow 3^{998}.(x^{1998}+y^{1998}+z^{1998})\geq F^{999}\qquad(1)$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x\geq y\geq z\geq 0$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ :

$(x+y+z)(x^{1997}+y^{1997}+z^{1997})\geq 3(x^{1998}+y^{1998}+z^{1998})\Rightarrow x^{1998}+y^{1998}+z^{1998}\leq x+y+z\leq \sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=\sqrt{3F}\qquad(2)$