Inequality

By

Bài toán (Trần Quốc Anh) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh bất đẳng thức :

\dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}+\dfrac{1}{(b+1)^2(c+a)}+\dfrac{1}{(c+1)^2(a+b)}\leq \dfrac{3}{8}

Lời giải :

Bổ đề (Vasile Cirtoaje) Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng :

\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}+\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{z+x}}\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Chứng minh bổ đề :

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có :

\left ( \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{x+y} \right )^{2}\leq \left [ \underset{sym}{\sum}(x+z) \right ]\left [ \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{(x+y)(x+z)} \right ]=\dfrac{4(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}

Thế nhưng ta có một kết quả quen thuộc :

8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)

Nên :

\left ( \underset{cyc}{\sum}\dfrac{x}{x+y} \right )^{2}\leq \dfrac{9}{2}

Từ đó bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

Vì abc=1 nên ta đặt a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x} với x,y,z>0.

Ta cần chứng minh :

\underset{cyc}{\sum} \dfrac{1}{\left ( \dfrac{x}{y}+1 \right )^2\left ( \dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} \right )}=\underset{cyc}{\sum} \dfrac{xy^2z}{(x+y)^2(xy+z^2)}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{x^2y^4z^2}{(x+y)^4)(xy+z^2)^2}}\leq \dfrac{3}{8}

Ta có :

(x+y)^4=(x-y)^4+8xy(x^2+y^2)\geq 8xy(x^2+y^2)

và

 (xy+z^2)^2\geq 4xyz^2

Nên ta chỉ cần chứng minh :

\underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{x^2y^4z^2}{8xy(x^2+y^2).4xyz^2}}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow \underset{cyc}{\sum }\sqrt{\dfrac{y^2}{x^2+y^2}}\leq \dfrac{3}{\sqrt{2}}

Điều này luôn đúng theo bổ đề. Bài toán được chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment