Inequality

By

Bài toán (VMO 2014) Cho các số thực dương x,y,z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P=\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\dfrac{z^3x^4y^4}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}

Lời giải 1 :

Bằng cách đặt a=x/y,b=y/z,c=z/x ta được abc=1, biểu thức đã cho có thể viết gọn thành :

P=\dfrac{1}{(a^4+1)(b+c)^3}+\dfrac{1}{(b^4+1)(c+a)^3}+\dfrac{1}{(c^4+1)(a+b)^3}

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc :

8(a^4+1)\geq (a+1)^4

Ta được :

\dfrac{P}{8}\leq \underset{sym}{\sum} \dfrac{1}{(a+1)^4(b+c)^3}

Lại áp dụng AM-GM ta được :

(a+1)^4(b+c)^3=(a+1)^2(b+c)^2.(a+1)^2(b+c)\geq 4a.4bc.(a+1)^2(b+c)=16(a+1)^2(b+c)

Do đó :

\dfrac{P}{2}\leq \underset{sym}{\sum} \dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau của tác giả Trần Quốc Anh, ta có :

\underset{sym}{\sum} \dfrac{1}{(a+1)^2(b+c)}\leq \dfrac{3}{8}

Dẫn đến :

P\leq \dfrac{3}{16}

Ta được P_{\max}=\dfrac{3}{16}, đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

Lời giải 2 :

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM :

(x^4+y^4)(xy+z^2)^3\geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}.4xyz^2.(xy+z^2)=2xyz^2(x^2+y^2)^2(xy+z^2)\geq 4x^2y^2z^2(x^2+y^2)(xy+z^2)

Do đó :

\dfrac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}\leq \dfrac{x^3y^4z^3}{4x^2y^2z^2(x^2+y^2)(xy+z^2)}=\dfrac{xy^2z}{4(x^2+y^2)(xy+z^2)}=\dfrac{xy^2z}{4(x^2z^2+y^2z^2+xy(x^2+y^2))}\leq \dfrac{xy^2z}{4(x^2z^2+y^2z^2+2x^2y^2)}=\dfrac{ab}{4(c^2+b^2+2a^2)}

Trong đó a=xy,b=yz,c=zx. Hoàn toàn tương tự :

\dfrac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}\leq \dfrac{bc}{4(a^2+c^2+2b^2)},\dfrac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^2}\leq \dfrac{ca}{4(b^2+a^2+2c^2)}

Ta sẽ chứng minh :

\dfrac{ab}{c^2+b^2+2a^2}+\dfrac{bc}{a^2+c^2+2b^2}+\dfrac{ca}{b^2+a^2+2c^2}\leq \dfrac{3}{4}\;\;\;(*)

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz :

\dfrac{ab}{c^2+b^2+2a^2}\leq \dfrac{(a+b)^2}{4\left [ (a^2+b^2)+(a^2+c^2) \right ]}\leq \dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+b^2} \right )

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại ta được (*)

Kéo theo

P\leq \dfrac{3}{16}

Ta được P_{\max}=\dfrac{3}{16}, đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment