Inequality

By

Bài toán (THTT số 424)

Cho các số dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh :

\dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)}\geq 9

Lời giải :

Ta đổi biến \left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z} \right ) với x,y,z>0 và xyz=1.

BĐT cần chứng minh trở thành :

\dfrac{1+5x^3}{\dfrac{y+z}{yz}}+\dfrac{1+5y^3}{\dfrac{z+x}{zx}}+\dfrac{1+5z^3}{\dfrac{x+y}{xy}}\geq 9\Leftrightarrow \dfrac{yz+5x^2}{y+z}+\dfrac{zx+5y^2}{z+x}+\dfrac{xy+5z^2}{x+y}\geq 9

Thật vậy, ta có :

\dfrac{yz+5x^2}{y+z}+\dfrac{zx+5y^2}{z+x}+\dfrac{xy+5z^2}{x+y}=\left ( \dfrac{1}{xy+yz}+\dfrac{1}{yz+zx}+\dfrac{1}{zx+xy} \right )+\dfrac{5x^2}{y+z}+\dfrac{5y^2}{z+x}+\dfrac{5z^2}{x+y}\geq 9

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta đi chứng minh một kết quả mạnh hơn là :

\dfrac{9}{2(xy+yz+zx)}+\dfrac{5(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\geq 9

Và ta chỉ cần chỉ ra :

\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{5(x+y+z)}{2}\geq 9

Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM :

\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{5(x+y+z)}{2}=\dfrac{27}{2(x+y+z)^2}+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{x+y+z}{2}+\dfrac{3(x+y+z)}{2}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{27}{8}}+\dfrac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}=9

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment