Inequality

By

Bài toán (IMO Shortlist 2009)

Cho các số dương a,b,c thỏa a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}. Chứng minh rằng :

\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}+\dfrac{1}{(2b+c+a)^2}+\dfrac{1}{(2c+a+b)^2}\leq \dfrac{3}{16}

Lời giải :

Theo AM-GM ta có :

\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \dfrac{1}{4(a+b)(a+c)}

Do vậy ta chỉ cần chứng minh :

\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{1}{(b+c)(c+a)}+\dfrac{1}{(c+a)(a+b)}\leq \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \dfrac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \dfrac{3}{8}\Leftrightarrow 8(a+b+c)\leq 3(a+b)(b+c)(c+a)

Hơn nữa ta có một kết quả quen thuộc :

(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)

Do đó ta đi chứng tỏ một kết quả mạnh hơn :

8(a+b+c)\leq 3.\dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3

Điều này luôn đúng vì giả thiết tương đương :

abc(a+b+c)=ab+bc+ca\leq \dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)^2\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 3

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment