[Bài toán] Khai triển Abel trong chứng minh BĐT

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Hùng Vương, Bình Phước) : Cho các số dương v,l,t thỏa mãn hệ :

\left\{\begin{matrix} \dfrac{2}{5}\leq t\leq min\left \{ v,l \right \}\\ vt\geq \dfrac{4}{15}\\ lt\geq \dfrac{1}{5} \end{matrix}\right.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E(v,l,t)=\dfrac{1}{v}+\dfrac{2}{l}+\dfrac{3}{t}

Lời giải : 

Dự đoán giá trị lớn nhất là 13 và đạt được khi v=\dfrac{2}{3},l=\frac{1}{2},t=\dfrac{2}{5}.

Do đó ta sẽ chứng minh E(v,l,t)=\left ( \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{t} \right )+2\left ( \dfrac{1}{l} +\dfrac{1}{t}\right )\leq 13

Thật vậy, áp dụng công thức khai triển Abel :

4=\dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{t}.\dfrac{5}{2}t+\dfrac{1}{v}.\dfrac{3}{2}v=\left ( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{v} \right ).\dfrac{5}{2}t+\dfrac{1}{v}\left ( \dfrac{5}{2}t+\dfrac{3}{2}v \right )\geq \left ( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{v} \right ).\dfrac{5}{2}.\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{v}.2\sqrt{\dfrac{15}{4}.vt}\geq \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{v}+\dfrac{2}{v}=\frac{1}{v}+\dfrac{1}{t}

Và :

\dfrac{9}{2}=2+\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{l}.2l+\dfrac{1}{t}.\dfrac{5}{2}t=\left ( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{l} \right ).\dfrac{5}{2}t+\dfrac{1}{l}\left ( 2l+\dfrac{5}{2}t \right )\geq \dfrac{5}{2}.\dfrac{2}{5}\left ( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{l} \right )+\dfrac{1}{l}.2\sqrt{5lt}\geq \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{l}+\dfrac{2}{l}=\dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{t}

Từ đó suy ra E(v,l,t)=\left ( \dfrac{1}{v}+\dfrac{1}{t} \right )+2\left ( \dfrac{1}{l}+\dfrac{1}{t} \right )\leq 4+2.\dfrac{9}{2}=13

Kết luận : Max\;E(v,l,t)=13\Leftrightarrow v=2/3,l=1/2,t=2/5

One thought on “[Bài toán] Khai triển Abel trong chứng minh BĐT”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment