Inequality

Bài toán (Albania 2002)

Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(a^2+b^2+c^2)\left ( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )\geq a+b+c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Lời giải :

Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=1$ . Từ đó ta chỉ cần chứng minh :

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}\left ( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )\geq a+b+c+1\Leftrightarrow \dfrac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}(ab+bc+ca)\geq abc(a+b+c)+abc$

Đặt $t=\sqrt{ab+bc+ca}\geq 0$ ta có :

$abc(a+b+c)\leq \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{3}=\dfrac{t^4}{3}$

và $abc\leq \dfrac{(ab+bc+ca)^{3/2}}{3\sqrt{3}}=\dfrac{t^3}{3\sqrt{3}}$

Do vậy ta cần chỉ ra rằng :

$\dfrac{1+\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}t^2\geq \dfrac{t^4}{3}+\dfrac{t^3}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sqrt{3}t^2+t-(1+\sqrt{3})\leq 0$

Điều này luôn đúng với $0\leq t=\sqrt{ab+bc+ca}\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$

3 thoughts on “Inequality”

Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog
toandev says:

August 13, 2016 at 10:28 am

Tại sao lại đặt được a^2+b^2+c^2=1 vậy thầy nhỉ? Thầy có thể giải thích chi tiết giúp em không ạ?

- Đình Huy says:
  
  August 17, 2016 at 12:55 pm
  
  Xưng “anh” thôi nha, mình hiện là sinh viên :)). Em có thể lên mạng tìm thêm tài liệu về BĐT thuần nhất nhé. Lúc đó em sẽ hiểu. 🙂

Huy Cao's Blog

Opportunity is the thing that I create for myself

Inequality

3 thoughts on “Inequality”

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

3 thoughts on “Inequality”

Leave a comment Cancel reply