Bài toán [Phương pháp S-S trong chứng minh BĐT]

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{2}{3}\geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Lời giải :

Viết BĐT thành :

$1-\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \dfrac{1}{3}-\dfrac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

Nhận xét rằng ta có các đẳng thức sau :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)$

Do đó cần chứng minh :

$\dfrac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq \dfrac{(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\Leftrightarrow \left ( \dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\dfrac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} \right )(a-b)^{2}+\left ( \dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\dfrac{a+b}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} \right )(a-c)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)\geq 0\qquad(*)$

Ta sẽ chứng minh $A,B\geq 0$ dễ thấy chỉ cần chứng minh $A=\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\dfrac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}\geq 0$ là đủ vì $B\geq A$ .

Thật vậy,

$A=\dfrac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c>0$

Áp dụng BĐT $Chebyshev$ với hai dãy cùng chiều $(a;b;c);(a^{2};b^{2};c^{2})$ thì : $3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Rightarrow A\geq 0\Rightarrow A,B\geq 0$