Inequality

By

Bài toán : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

S=a\sqrt[3]{b^2+c^2}+b\sqrt[3]{c^2+a^2}+c\sqrt[3]{a^2+b^2}

Lời giải :

Dấu bằng đạt được tại a=b=c=2 nên ta có hướng giải quyết sau :

Sử dụng BĐT AM-GM :

a\sqrt[3]{b^2+c^2}=\sqrt[3]{ma.na^2.(b^2+c^2)}\leq \dfrac{ma+na^2+b^2+c^2}{3}

Như vậy ta sẽ chọn m,n để đẳng thức xảy ra, tức là ma=na^2=b^2+c^2\Rightarrow m=4,n=2

Khi đó ta có 2a\sqrt[3]{b^2+c^2}=\sqrt[3]{4a.2a^2.(b^2+c^2)}\leq \dfrac{4a+2a^2+b^2+c^2}{3}

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế :

2S=2a\sqrt[3]{b^2+c^2}+2b\sqrt[3]{c^2+a^2}+2c\sqrt[3]{a^2+b^2}\leq \dfrac{4(a+b+c)+4(a^2+b^2+c^2)}{3}=\dfrac{4}{3}(a+b+c)+16\leq \dfrac{4}{3}\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+16=24

Kết luận : MaxS=24\Leftrightarrow a=b=c=2

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment