Inequality

Bài toán : (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, Cà Mau)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $15a+\sqrt[3]{5}b+\sqrt[5]{3}c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của :

$A=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^5}$

Lời giải :

Ta đặt $15a=x,\sqrt[3]{5}b=y,\sqrt[5]{3}c=z$ thì $x+y+z=3$ .

Khi đó biểu thức $A$ trở thành :

$A=\dfrac{15}{x}+\dfrac{5}{y^3}+\dfrac{3}{z^5}$

Gỉa sử đẳng thức xảy ra khi $x=X,y=Y,z=Z$ .

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$\dfrac{15}{x}+\dfrac{15x}{X^2}\geq \dfrac{30}{X}$

$\dfrac{5}{y^3}+\dfrac{5y}{Y^4}+\dfrac{5y}{Y^4}+\dfrac{5y}{Y^4}\geq \frac{20}{Y^3}$

$\dfrac{3}{z^5}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}+\dfrac{3z}{Z^6}\geq \dfrac{18}{Z^5}$

Cộng vế theo vế ba BĐT trên :

$A+\dfrac{15x}{X^2}+\dfrac{15y}{Y^3}+\dfrac{15z}{Z^6}\geq \dfrac{30}{X}+\dfrac{20}{Y^3}+\dfrac{18}{Z^5}$

Ta chọn $X,Y,Z$ thỏa hệ :

$\left\{\begin{matrix} X+Y+Z=3\\ \dfrac{15}{X^2}=\dfrac{15}{Y^4}=\dfrac{15}{Z^6} \end{matrix}\right.$

Ta có thể thấy ngay $X=Y=Z=1$ là nghiệm của hệ trên.

Từ đó :

$A+15(x+y+z)\geq 30+20+18\Leftrightarrow A\geq 23$

Kết luận :

$MinA=23\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{15},b=\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}},c=\dfrac{1}{\sqrt[5]{3}}$

Huy Cao's Blog