Inequality, Trigonometry

By

Bài toán : Cho các số dương x,y,z thỏa mãn 6x+3y+2z=xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P=\dfrac{x\sqrt{yz}}{\sqrt{x^2+1}.\sqrt[4]{(y^2+4)(z^2+9)}}

Lời giải :

Để ý thấy biểu thức P có thể viết lại dưới dạng :

P=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sqrt{\dfrac{y}{\sqrt{y^2+4}}.\dfrac{z}{\sqrt{z^2+9}}}

Các biểu thức trong P là những biểu thức đậm chất lượng giác, ta khai thác giả thiết :

6x+3y+2z=xyz\Leftrightarrow \dfrac{6}{yz}+\dfrac{3}{zx}+\dfrac{2}{xy}=0

Như vậy nếu ta đặt a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z} thì ta được ab+bc+ca=1 và biểu thức P khi đó trở thành :

P=\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}.\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}.\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}}

Dấu hiệu lượng giác đã rõ. Ta đặt a=tan\dfrac{A}{2},b=tan\dfrac{B}{2},c=tan\dfrac{C}{2}\;\;\;(A+B+C=\pi )

Thì :

P=cos\dfrac{A}{2}\sqrt{cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}}

Vì B,C là bình đẳng trong P nên trong quá trình đánh giá, ta sẽ bảo đảm cho dấu bằng xảy ra tại B=C.

Ta có :

2P^{2}=2cos^{2}\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}=cos^{2}\dfrac{A}{2}\left ( cos\dfrac{B+C}{2}+cos\dfrac{B-C}{2} \right )\leq \left ( 1-sin^{2}\dfrac{A}{2} \right )\left ( sin\dfrac{A}{2}+1 \right )

=\dfrac{1}{2}\left ( 2-2sin\dfrac{A}{2} \right )\left ( 1+sin\dfrac{A}{2} \right )\left ( 1+sin\dfrac{A}{2} \right )\leq \dfrac{1}{2}.\left ( \frac{2-2sin\frac{A}{2}+1+sin\frac{A}{2}+1+sin\frac{A}{2}}{3} \right )^3=\dfrac{32}{27}\Rightarrow P\leq \dfrac{4\sqrt{3}}{9}

Kết luận :

MaxP=\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{3},B=C\Leftrightarrow tan\dfrac{A}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4},tan\dfrac{B}{2}=tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow x=2\sqrt{2},y=2\sqrt{2},z=3\sqrt{2}

One thought on “Inequality, Trigonometry”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment