Bài toán [BĐT Cauchy-Schwarz]

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh bất đẳng thức :

$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq 4(a+b+c+1)^{2}$

Lời giải :

Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz :

$4(a+b+c+1)^{2}\leq 4(a^{2}+3)\left ( 1+\dfrac{(b+c+1)^{2}}{3} \right )$

Do đó ta chỉ cần chứng minh :

$4\left ( 1+\dfrac{(b+c+1)^{2}}{3} \right )\leq (b^{2}+3)(c^{2}+3)\Leftrightarrow 3b^{2}c^{2}+5b^{2}+5c^{2}+11\geq 8bc+8b+8c$

Theo $AM-GM$ :

$3b^{2}c^{2}+3\geq 6bc$

Nên ta đi chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn :

$6bc+5b^{2}+5c^{2}+8\geq 8bc+8b+8c\Leftrightarrow 5(b^{2}+c^{2})+8\geq 2bc+8b+8c\qquad(*)$

Thật vậy,

$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$

$(b-1)^{2}+(c-1)^{2}\Leftrightarrow 4(b^{2}+c^{2})+8\geq 8b+8c$

Cộng vế hai BĐT trên thì ta có $(*)$ .

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 1$ .

Huy Cao's Blog