Inequality

By

Bài toán (USA MO 2001)  Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2+abc=4. Chứng minh rằng :

0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2

Lời giải :

Nếu tất cả các số a,b,c đều lớn hơn 1 thì a^2+b^2+c^2+abc>4. Do đó có ít nhất một số không vượt quá $1$. Gỉa sử a\leq 1. Khi ấy :

ab+bc+ca-abc=bc(1-a)+a(b+c)\geq 0

Từ giả thiết ta đổi biến \left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( 2sin\dfrac{A}{2},2sin\dfrac{B}{2},2sin\dfrac{C}{2} \right ).

Khi đó áp dụng BĐT AM-GM ta có :

ab=4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}=2\sqrt{sinA.tan\dfrac{A}{2}sinB.tan\dfrac{B}{2}}\leq sinA.tan\dfrac{B}{2}+sinB.tan\dfrac{A}{2}=sinA.cot\dfrac{C+A}{2}+sinB.cot\dfrac{B+C}{2}

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại :

ab+bc+ca\leq (sinA+sinB)cot\dfrac{A+B}{2}+(sinB+sinC)cot\dfrac{B+C}{2}+(sinC+sinA)cot\dfrac{C+A}{2}=2cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{A+B}{2}+2cos\dfrac{B-C}{2}.cos\dfrac{B+C}{2}+2cos\dfrac{C-A}{2}.cos\dfrac{C+A}{2}=2(cosA+cosB+cosC)=6-4\left ( sin^{2}\dfrac{A}{2}+sin^{2}\dfrac{B}{2}+sin^{2}\dfrac{C}{2} \right )=6-(a^2+b^2+c^2)

Mà theo đề bài ta có 6-(a^2+b^2+c^2)=2+abc nên :

ab+bc+ca\leq 2+abc

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment