Inequality

Bài toán (APMO 2004) Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$

Lời giải :

Khai triển bất đẳng thức trên ta cần chứng minh :

$a^2b^2c^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\geq 9(ab+bc+ca)$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ :

$(a^2b^2+1)+(b^2c^2+1)+(c^2a^2+1)\geq 2(ab+bc+ca)\Rightarrow 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6\geq 4(ab+bc+ca)\;\;\;\;(1)$

Mặt khác ta có BĐT quen thuộc sau :

$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\;\;\;(2)$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ và BĐT $Schur$ :

$a^2b^2c^2+2=a^2b^2c^2+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\dfrac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}\geq \dfrac{9abc}{a+b+c}\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2\;\;\;(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ :

$(a^2b^2c^2+2)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3)+3(a^2+b^2+c^2)+(a^2+b^2+c^2)\geq 4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2+4(ab+bc+ca)+3(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)=9(ab+bc+ca)$

Đây là điều cần chứng minh.

Huy Cao's Blog