Inequality

By

Bài toán (Võ Quốc Bá Cẩn, Mathematical Reflections, 2007) 

Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng :

\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{\dfrac{z+x}{y}}+\sqrt{\dfrac{x+y}{z}}\geq \sqrt{\dfrac{16(x+y+z)^3}{3(x+y)(y+z)(z+x)}}

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho có thể viết thành :

\underset{cyc}{\sum} (y+z)\sqrt{\dfrac{(x+y)(z+x)}{x(x+y+z)}}\geq \dfrac{4(x+y+z)}{\sqrt{3}}

Ta đặt a=y+z,b=z+x,c=x+y,p=\dfrac{a+b+c}{2}.

Ta có thể viết lại BĐT dưới dạng :

a\sqrt{\frac{bc}{p(p-a)}}+b\sqrt{\dfrac{ca}{p(p-b)}}+c\sqrt{\dfrac{ab}{p(p-c)}}\geq \dfrac{4p}{\sqrt{3}}=\dfrac{2(a+b+c)}{\sqrt{3}}

Dễ dàng thấy rằng tồn tại một tam giác ABC có các cạnh tương ứng a,b,c và bán kính đường tròn ngoại tiếp R. Khi đó ta có thể viết điều cần chứng minh thành :

\dfrac{a}{cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b}{cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{c}{cos\dfrac{C}{2}}\geq \dfrac{2(a+b+c)}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}\geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}\left ( sinA+sinB+sinC \right )\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( sin\dfrac{A}{2} +sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}\right )\geq \left ( sin\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{B}{2} +sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{C}{2}\right )

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử A\geq B\geq C khi đó hai dãy \left ( sin\dfrac{A}{2},sin\dfrac{B}{2},sin\dfrac{C}{2} \right ),\left ( cos\dfrac{A}{2},cos\dfrac{B}{2},cos\dfrac{C}{2} \right ) ngược chiều.

Áp dụng BĐT Tchebyshev :

sin\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{B}{2} +sin\dfrac{C}{2}.cos\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{1}{3}\left ( \underset{cyc}{\sum} sin\dfrac{A}{2} \right )\left ( \underset{cyc}{\sum}cos\dfrac{A}{2} \right )\leq \dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left ( \underset{cyc}{\sum} sin\dfrac{A}{2} \right )=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left ( \underset{cyc}{\sum} sin\dfrac{A}{2} \right )

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment