[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

By

Bài toán : (Đề nghị thi Olympic 30-4 toán 10 THPT Chuyên Lê Hồng Phong TpHCM 2010) Cho các số thực a,b,c\geq 1 thỏa mãn a+b+c+2=abc. Chứng minh rằng : 

bc\sqrt{a^2-1}+ca\sqrt{b^2-1}+ab\sqrt{c^2-1}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}abc

Lời giải 1 : (Lượng giác hóa)

Gỉa thiết đã cho tương đương \left ( \dfrac{1}{\sqrt{bc}} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{\sqrt{ca}} \right )^{2}+\left ( \dfrac{1}{\sqrt{ab}} \right )^{2}+2.\dfrac{1}{\sqrt{bc}}.\dfrac{1}{\sqrt{ca}}.\dfrac{1}{\sqrt{ab}}=1

Dễ thấy 0<\dfrac{1}{\sqrt{bc}},\dfrac{1}{\sqrt{ca}},\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\leq 1 nên ta đặt \dfrac{1}{\sqrt{bc}}=cosA\;\;,\dfrac{1}{\sqrt{ca}}=cosB\;\;,\dfrac{1}{\sqrt{ab}}=cosC

Khi đó ta có cosAcosB=\dfrac{1}{c}\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{cosC}{c}\Rightarrow \dfrac{1}{c^{2}}=\left ( \dfrac{cosAcosB}{cosC} \right )^2

Tương tự \dfrac{1}{a^{2}}=\left ( \dfrac{cosBcosC}{cosA} \right )^{2},\;\;\dfrac{1}{b^{2}}=\left ( \dfrac{cosCcosA}{cosB} \right )^2

Cần chứng minh :

\sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{1-\left ( \dfrac{cosAcosB}{cosC} \right )^{2}}+\sqrt{1-\left ( \dfrac{cosBcosC}{cosA} \right )^2}+\sqrt{1-\left ( \dfrac{cosCcosA}{cosB} \right )^2}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}

Lại đặt cos^2A=x,cos^2B=y,cos^2C=z, ta chứng minh một BĐT mạnh hơn là :

3\left ( 3-\dfrac{xy}{z}-\dfrac{yz}{x}-\dfrac{zx}{y} \right )\leq \left ( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right )^{2}\Leftrightarrow \dfrac{xy}{z}+\dfrac{zx}{y}+\dfrac{xy}{z}\geq \dfrac{3}{4}

Điều này luôn đúng vì \dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\geq x+y+z=cos^2A+cos^2B+cos^2C\geq \dfrac{3}{4}

Ta có điều phải chứng minh.

Lời giải 2 : (Thuần túy đại số)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

\sqrt{1-\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{c^2}}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}

Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn :

3\left ( 3-\dfrac{1}{a^{2}}-\dfrac{1}{b^{2}}-\dfrac{1}{c^{2}} \right )\leq \dfrac{27}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\geq \dfrac{3}{4}

Và mạnh hơn nữa là :

\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq \dfrac{3}{2}

Thật vậy, đặt t=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}

Từ giả thiết : \dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{2}{abc}=1

và hai kết quả quen thuộc \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\leq \dfrac{1}{3}\left ( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )^{2}=\dfrac{t^{2}}{3} , \dfrac{2}{abc}\leq 2.\dfrac{t^{3}}{27}

Suy ra

2.\dfrac{t^{3}}{27}+\dfrac{t^{2}}{3}\geq 1\Leftrightarrow 2t^{3}+9t^{2}-27\geq 0\Leftrightarrow (2t-3)(t+3)^2\geq 0\Leftrightarrow t\geq \dfrac{3}{2}.

Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh.

One thought on “[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment