Inequality

Bài toán : Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=x+y+z+2$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^3+1}}\geq 1$

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$ ta có :

$\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}}\geq \dfrac{2}{(x+1)+(x^2-x+1)}=\dfrac{2}{x^2+2}$

Tương tự với hai phân thức còn lại, dẫn đến việc chứng minh :

$\dfrac{1}{x^2+2}+\dfrac{1}{y^2+2}+\dfrac{1}{z^2+2}\geq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{\underset{cyc}{\sum}(x^2+2)(y^2+2) }{(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)}\geq \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2\left [ (x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2+y^2+z^2)+12 \right ]\geq x^2y^2z^2+4(x^2+y^2+z^2)+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+8\Leftrightarrow 4(x^2+y^2+z^2)+16\geq x^2y^2z^2$