Inequality

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp)

 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

P=\dfrac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\dfrac{1}{\sqrt{z^5-z^2+3zx+6}}

Lời giải :

Gỉa thiết xyz=1 làm ta nhớ đến đẳng thức quen thuộc \dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}+\dfrac{1}{zx+z+1}=1.

Vì vậy ta tìm cách đánh giá x^5-x^2+3xy+6\geq k(xy+x+1)

Ta tìm cách đánh giá một biến bằng cách chọn k=3, như vậy ta chỉ việc chứng minh x^5-x^2+6\geq 3x+3\Leftrightarrow x^5-x^2-3x+3\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^2(x^3+2x^2+3x+3)\geq 0

Điều này là đúng vì x>0.

Như vậy ta có x^5-x^2+3xy+6\geq 3(xy+x+1)\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}\leq \dfrac{1}{\sqrt{3(xy+x+1)}}

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại :

P\leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}\left ( \dfrac{1}{\sqrt{xy+x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz+y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx+z+1}} \right )

Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

\left ( \dfrac{1}{\sqrt{xy+x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz+y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx+z+1}} \right )^{2}\leq 3\left ( \dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{1}{yz+y+1}+\dfrac{1}{zx+z+1} \right )=1/3.\left ( \dfrac{1}{xy+x+1}+\dfrac{x}{xy+x+1}+\dfrac{xy}{xy+x+1} \right )=1/3

Từ đó P\leq \dfrac{1}{3}

Kết luận : MaxP=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment