[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

By

Bài toán : Cho các số thực a,b,c\in \left ( 0,2 \right ) thỏa ab+bc+ca+abc=4. Chứng minh rằng :

\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\leq 3\sqrt{3}

Lời giải :

Viết điều kiện giả thiết lại thành :

\left ( \dfrac{\sqrt{ab}}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{\sqrt{bc}}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{\sqrt{ca}}{2} \right )^{2}+2.\dfrac{\sqrt{ab}}{2}.\dfrac{\sqrt{bc}}{2}.\dfrac{\sqrt{ca}}{2}=1

Như vậy ta đặt cosC=\dfrac{\sqrt{ab}}{2},cosB=\dfrac{\sqrt{ca}}{2},cosA=\dfrac{\sqrt{bc}}{2} với A+B+C=\pi

Khi đó dễ thấy 2cosAcosB=c.\dfrac{\sqrt{ab}}{2}=c.cosC\Rightarrow c=\dfrac{2cosAcosB}{cosC}

Hoàn toàn tương tự b=\dfrac{2cosAcosC}{cosB},a=\dfrac{2cosBcosC}{cosA}

Ta chứng minh một BĐT mạnh hơn BĐT đề bài :

3\left ( 4-a^2+4-b^2+4-c^2 \right )\leq \left ( 3\sqrt{3} \right )^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^2+c^2\geq 3

Điều này luôn đúng vì ta có :

a^{2}+b^{2}+c^{2}=4\left ( \dfrac{cos^2Acos^2B}{cos^2C}+\dfrac{cos^2Bcos^2C}{cos^2A}+\dfrac{cos^2Acos^2C}{cos^2B} \right )\geq 4\left ( cos^2A+cos^2B+cos^2C \right )\geq 4.\dfrac{3}{4}=3

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

One thought on “[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment