Inequality

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long)

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng :

\dfrac{a}{b^2(c+1)}+\dfrac{b}{c^2(a+1)}+\dfrac{c}{a^2(b+1)}\geq \dfrac{3}{2}

Lời giải :

Bổ đề 1 : Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc \leq 1. Chứng minh :

Min\left \{ \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right \}\geq a+b+c

Bổ đề 2 : Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh :

Min\left \{ \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right \}\geq ab+bc+ca

Xem chứng minh hai bổ đề tại đây

Trở lại bài toán :

Theo BĐT Cauchy-Schwarz :

\dfrac{a}{b^2(c+1)}+\dfrac{b}{c^2(a+1)}+\dfrac{c}{a^2(b+1)}=\dfrac{(a/b)^2}{a(c+1)}+\dfrac{(b/c)^2}{b(a+1)}+\dfrac{(c/a)^2}{c(b+1)}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{2(a/b+b/c+c/a)}=\dfrac{a/b+b/c+c/a}{2}\geq \dfrac{3}{2}

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment