Inequality

By

Bài toán : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Đặt :

A=\dfrac{a}{b^2+b}+\dfrac{b}{c^2+c}+\dfrac{c}{a^2+a}

B=\dfrac{a}{b^3+b}+\dfrac{b}{c^3+c}+\dfrac{c}{a^3+a}

C=\dfrac{a}{b^3+b^2}+\dfrac{b}{c^3+c^2}+\dfrac{c}{a^3+a^2}

Chứng minh rằng : 

Min\left \{ A,B,C\right \}\geq \dfrac{3}{2}

Lời giải :

Bổ đề 1 : Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc \leq 1. Chứng minh :

Min\left \{ \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right \}\geq a+b+c

Chứng minh bổ đề 1 :

Ta chứng minh \dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\geq a+b+c, việc còn lại tương tự.

Theo BĐT AM-GM :

\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{c}{b}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a.c.c}{c.b.b}}=3\sqrt[3]{\dfrac{ac}{b^2}}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a^3b^2c^3}{b^2}}=3ca

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, bổ đề 1 được chứng minh.

Bổ đề 2 : Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh :

Min\left \{ \dfrac{a}{b} +\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a},\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right \}\geq ab+bc+ca

Chứng minh bổ đề 2 :

Bổ đề 1 hiển nhiên đúng với abc=1, áp dụng kết quả của bổ đề 1.

Ta thay a,b,c lần lượt bởi 1/a,1/b,1/c thì được :

\dfrac{1/a}{1/c}+\dfrac{1/c}{1/b}+\dfrac{1/b}{1/a}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=ab+bc+ca\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\geq ab+bc+ca

Việc còn lại tương tự. Bổ đề 2 được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta đi chứng minh A,B,C\geq \dfrac{3}{2}

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và bổ đề 1 :

A=\dfrac{a}{b^2+b}+\dfrac{b}{c^2+c}+\dfrac{c}{a^2+a}=\dfrac{a^2}{ab^2+ab}+\dfrac{b^2}{bc^2+bc}+\dfrac{c^2}{ca^2+ca}=\dfrac{(a/b)^2}{a+a/b}+\dfrac{(b/c)^2}{b+b/c}+\dfrac{(c/a)^2}{c+c/a}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{(a+b+c)+(a/b+b/c+c/a)}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{2(a/b+b/c+c/a)}=\dfrac{(a/b+b/c+c/a)}{2}\geq \dfrac{3}{2}

Áp dụng BĐT Cauchy-Shwarz và bổ đề 2 :

B=\dfrac{a}{b^3+b}+\dfrac{b}{c^3+c}+\dfrac{c}{a^3+a}=\dfrac{a^2}{ab^3+ab}+\dfrac{b^2}{bc^3+bc}+\dfrac{c^2}{ca^3+ca}=\dfrac{(a/b)^2}{ab+a/b}+\dfrac{(b/c)^2}{bc+b/c}+\dfrac{(c/a)^2}{ca+c/a}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{ab+bc+ca+(a/b+b/c+c/a)}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{2(a/b+b/c+c/a)}=\dfrac{a/b+b/c+c/a}{2}\geq \dfrac{3}{2}

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và cả hai bổ đề :

C=\dfrac{a}{b^3+b^2}+\dfrac{b}{c^3+c^2}+\dfrac{c}{a^3+a^2}=\dfrac{a^2}{ab^3+ab^2}+\dfrac{b^2}{bc^3+bc^2}+\dfrac{c^2}{ca^3+ca^2}=\dfrac{(a/b)^2}{ab+a}+\dfrac{(b/c)^2}{bc+b}+\dfrac{(c/a)^2}{ca+c}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{(a/b+b/c+c/a)^2}{2(a/b+b/c+c/a)}=\dfrac{a/b+b/c+c/a}{2}\geq \dfrac{3}{2}

2 thoughts on “Inequality”

  1. Pingback: Inequality | Juliel's Blog

  2. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment