[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT

By

Bài toán : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a^{2}+b^2+c^2+abc=4. Chứng minh rằng :

a\sqrt{4-a^2}+b\sqrt{4-b^2}+c\sqrt{4-c^2}\leq 3\sqrt{3}

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành : \left ( \dfrac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{b}{2} \right )^{2}+\left ( \dfrac{c}{2} \right )^{2}+2.\dfrac{a}{2}.\dfrac{b}{2}.\dfrac{c}{2}=1

Do đó 0<\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2},\dfrac{c}{2}<1. Ta đặt \dfrac{a}{2}=cosA,\dfrac{b}{2}=cosB,\dfrac{c}{2}=cosC

Khi đó cần chứng minh :

2cosA\sqrt{4-4cos^{2}A}+2cosB\sqrt{4-cos^{2}B}+2cosC\sqrt{4-4cos^2C}\leq 3\sqrt{3}\Leftrightarrow sinA.cosA+sinB.cosB+sinC.cosC\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{4}

Không mất tính tổng quát, ta giả sử sinA\geq sinB\geq sinC\Rightarrow cosA\leq cosB\leq cosC.

Theo  BĐT Tchebyshev :

sinA.cosA+sinB.cosB+sinC.cosC\leq \dfrac{1}{3}\left ( sinA+sinB+sinC \right )(cosA+cosB+cosC)\leq \dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}

Ta có điều phải chứng minh.

 

One thought on “[Bài toán] Lượng giác hóa trong chứng minh BĐT”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment