Bài toán [Kĩ thuật AM-GM ngược dấu]

Bài toán : Cho các số dương $a,b$ thỏa mãn $ab + bc + ca = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\dfrac{a}{1+2b^{3}}+\dfrac{b}{1+2c^{3}}+\dfrac{c}{1+2a^{3}}$

Lời giải :

Ta sẽ sử dụng kĩ thuật $AM-GM$ ngược dấu để giải quyết bài toán.

Ta có : $\dfrac{a}{1+2b^{3}}=\dfrac{a(1+2b^{3})-2ab^{3}}{1+2b^{3}}=a-\dfrac{2ab^{3}}{b^{3}+b^{3}+1}\geq a-\dfrac{2ab^{3}}{3b^{2}}=a-\dfrac{2ab}{3}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được :

$P\geq (a+b+c)-\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}-\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)=1$

Kết luận : $MinP=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

Huy Cao's Blog