Bài toán [Dùng BĐT Cauchy-Schwarz để chứng minh BĐT]

By

Bài toán : Cho các số dương a,b,c thỏa abc=1. Chứng minh rằng :

\dfrac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}+\dfrac{b+c+1}{b+c^{2}+a^{3}}+\dfrac{c+a+1}{c+a^{2}+b^{3}}\leq \dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}

Lời giải :

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :

\left ( a+b^{2}+c^{3} \right )\left ( a+1+\frac{1}{c} \right )\geq (a+b+c)^{2}\Rightarrow a+b^{2}+c^{3}\geq \dfrac{c(a+b+c)^{2}}{ac+c+1}\Rightarrow \dfrac{a+b+1}{a+b^{2}+c^{3}}\leq \dfrac{(ac+c+1)(a+b+1)}{c(a+b+c)^{2}}=\dfrac{(ac+c+abc)(a+b+1)}{c(a+b+c)^{2}}=\dfrac{(a+b+1)(ab+a+1)}{(a+b+c)^{2}}

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo từng vế, ta được :

VT\leq \dfrac{\sum (ab+a+1)(a+b+1)}{(a+b+c)^{2}}

Nhưng với abc=1 thì ta luôn có đẳng thức sau :

\sum (ab+a+1)(a+b+1)=(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+c)+a+b+c=(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+c)+a+b+c=(a+b+c)^{2}+3(a+b+c)+\sum ab(a+b)+3

Do đó VT\leq \dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)(a+b+c)+a+b+c}{(a+b+c)^{2}}=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}

Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.

One thought on “Bài toán [Dùng BĐT Cauchy-Schwarz để chứng minh BĐT]”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment