[Bài toán] Nguyên lí biên trong chứng minh BĐT

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c,d,e$ thuộc đoạn $\left [ p,q \right ]$ . Chứng minh rằng :

$\left ( a+b+c+d+e \right )\left ( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{e}\right )\leq 25+6\left ( \sqrt{\dfrac{p}{q}} -\sqrt{\dfrac{q}{p}}\right )^2$

Lời giải :

Cố định biến $a$ , xem vế trái của BĐT cần chứng minh là một hàm số theo $a$ :

$f(a)=\left ( a+b+c+d+e \right )\left ( \dfrac{1}{a} +\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{e}\right )=(a+\alpha )\left ( \dfrac{1}{a}+\beta \right )=\dfrac{\alpha }{a}+\beta a+\alpha \beta +1$

Đặt $f_1(a)=\dfrac{\alpha }{a}$ , đây là một hàm số theo $a$ trên $\left [ p,q \right ]$ , với $\alpha >0$ và $a>0$ thì đồ thị hàm số này là một nhánh hyperbol có bề lõm quay lên và nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất, do đó nó chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm đầu mút, tức là $a\in \left \{ p,q \right \}$ .

Đặt $f_2(a)=\beta a+\alpha \beta +1$ , đây là một hàm số bậc nhất theo $a$ trên $\left [ p,q \right ]$ , đồ thị hàm số này là một đoạn thẳng mà hai đầu là hai điểm có hoành độ $p$ và $q$ . Do đó nó chỉ đạt giá trị lớn nhất tại hai điểm đầu mút này, tức là $a\in \left \{ p,q \right \}$ .

Suy ra $f(a)=f_1(a)+f_2(a)$ chỉ đạt giá trị lớn nhất tại $a=p$ hoặc $a=q$

Tương tự khi cố định lần lượt các biến $b,c,d,e$ , tất cả đều cho kết quả là giá trị lớn nhất của vế trái chỉ đạt được tại $a,b,c,d,e\in \left \{ p,q \right \}$ .

Gỉa sử trong năm số $a,b,c,d,e$ có $r$ số bằng $p$ và $5-r$ số bằng $q$ với $r\in \left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \}$ .

Ta cần chứng minh :

$\left [ rp+(5-r)q \right ]\left [ \dfrac{r}{p}+\dfrac{5-r}{q} \right ]\leq 25+6.\dfrac{(p-q)^2}{pq}\Leftrightarrow \left [ rp+(5-r)q \right ]\left [ rq+(5-r)p \right ]\leq 25pq+6(p-q)^2=6p^2+6q^2+13pq\Leftrightarrow (r^2-5r+6)(p^2+q^2)\geq 2(r^2-5r+6)pq\qquad(*)$