Inequality

By

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2014)

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh :

\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq 1

Lời giải :

Trước hết ta sẽ chứng minh :

\dfrac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+7b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+b^2+7c^2}\leq \dfrac{1}{3}

Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa a^2+b^2+c^2=1.

Khi đó chỉ cần chỉ ra rằng :

\dfrac{a^2}{6a^2+1}+\dfrac{b^2}{6b^2+1}+\dfrac{c^2}{6c^2+1}\leq \dfrac{1}{3}\Leftrightarrow \dfrac{6a^2}{6a^2+1}+\dfrac{6b^2}{6b^2+1}+\dfrac{6c^2}{6c^2+1}\leq 2\Leftrightarrow \left ( 1-\dfrac{6a^2}{6a^2+1} \right )+\left ( 1-\dfrac{6b^2}{6b^2+1} \right )+\left ( 1-\dfrac{6c^2}{6c^2+1} \right )\geq 1\Leftrightarrow \dfrac{1}{6a^2+1}+\dfrac{1}{6b^2+1}+\dfrac{1}{6c^2+1}\geq 1

Điều này luôn đúng theo BĐT Cauchy-Schwarz :

\dfrac{1}{6a^2+1}+\dfrac{1}{6b^2+1}+\dfrac{1}{6c^2+1}\geq \dfrac{9}{6(a^2+b^2+c^2)+3}=1

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được :

\dfrac{a}{\sqrt{7a^2+b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+7b^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2+7c^2}}\leq\sqrt{3\left (\dfrac{a^2}{7a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+7b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+b^2+7c^2} \right )}\leq \sqrt{3.\dfrac{1}{3}}=1

Đây là điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment