Inequality, Trigonometry

By

Bài toán (Tổng quát Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Mạc Đĩnh Chi, TpHCM)

Cho k là số nguyên dương và n số thực a_1,a_2,...,a_n thỏa mãn \dfrac{1}{1+a_1^{2k}}+\dfrac{1}{1+a_2^{2k}}+...+\dfrac{1}{1+a_n^{2k}}=1. Chứng minh rằng :

a_1a_2...a_n\geq (n-1)^{\frac{n}{2k}}

Lời giải :

Ta đặt a_1^k=tanA_1,a_2^k=tanA_2,...,a_n^k=tanA_n thì giả thiết đã cho được viết lại thành :

\dfrac{1}{tan^2A_1+1}+\dfrac{1}{tan^2A_2+1}+...+\dfrac{1}{tan^2A_n+1}=1\Leftrightarrow cos^2A_1+cos^2A_2+...+cos^2A_n=1\Leftrightarrow cos^2A_1+cos^2A_2+...+cos^2A_{n-1}=1-cos^2A_n=sin^2A_n

Từ đó áp dụng BĐT AM-GM :

sin^2A_n\geq (n-1)\sqrt[n-1]{cos^2A_1cos^2A_2...cos^2A_{n-1}}

Hoàn toàn tương tự :

sin^2A_{n-1}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{cos^2A_1...cos^2A_{n-2}cos^2A_{n}}

…

sin^2A_{1}\geq (n-1)\sqrt[n-1]{cos^2A_2...cos^2A_{n-1}cos^2A_{n}}

Nhân các BĐT này theo vế :

sin^2A_1sin^2A_2...sin^2A_n\geq (n-1)^n.cos^2A_1cos^2A_2...cos^2A_n\Leftrightarrow tan^2A_1tan^2A_2...tan^2A_n\geq (n-1)^n\Leftrightarrow a_1^{2k}a_2^{2k}...a_n^{2k}\geq (n-1)^{n}\Leftrightarrow a_1a_2...a_n\geq (n-1)^{\frac{n}{2k}}

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality, Trigonometry”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment