Inequality

By

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương)

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a+b+ab\geq c^2+2c

Chứng minh rằng 

a^3+b^3\geq 2c^3

Lời giải :

Để ý rằng vì a,b bình đẳng nên đẳng thức xảy ra tại a=b, thay vào giả thiết và dự đoán dấu bằng cũng xảy ra tại giả thiết ta đi đến dự đoán dấu bằng đạt được khi a=b=c.

Ta coi c như một tham số và a,b là hai biến số.

Theo BĐT AM-GM :

c(a^3+b^3+c^3)\geq 3abc^2

a^3+c^3+c^3\geq 3ac^2

b^3+c^3+c^3\geq 3bc^2

Cộng vế theo vế ba BĐT trên :

(c+1)(a^3+b^3)+c^4+4c^3\geq 3c^2(a+b+ab)\geq 3c^2(c^2+2c)\Rightarrow a^3+b^3\geq \dfrac{3c^2(c^2+2c)-c^4-4c^3}{c+1}=2c^3

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment