Polynomial

By

Bài toán : Tìm các đa thức có dạng P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, trong đó a_i\in \left \{ -1,1 \right \},\;\forall i=\overline{0,n} và có các nghiệm đều là nghiệm thực.

Lời giải :

Gọi x_1,x_2,...,x_n là n nghiệm thực của P(x). Ta xét a_n=1.

Theo định lí Viete :

\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+...+x_n=\dfrac{-a_{n-1}}{a_n}=-a_{n-1}\\ x_1x_2...x_n=(-1)^n.\dfrac{a_0}{a_n}=(-1)^n.a_0 \end{matrix}\right.

Do đó :

x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=(x_1+x_2+...+x_n)^2-2\underset{0\leq i<j\leq n}{\sum} x_ix_j=1-2a_{n-2}\geq 0\Leftrightarrow 2a_{n-2}\leq 1\Rightarrow a_{n-2}=-1

Từ đó x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=3.

Áp dụng BĐT AM-GM :

3=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\geq n\sqrt[n]{(x_1x_2...x_n)^2}=n\Rightarrow n\leq 3

Với n=1 ta được P(x)\in \left \{ x+1,x-1 \right \}

Với n=2 ta được P(x)\in \left \{ x^2-x-1,x^2+x-1 \right \}

Với n=3 ta được P(x)\in \left \{ x^3+x^2-x-1,x^3-x^2-x+1 \right \}

Tương tự khi ta xét a_{n}=-1.

Kết luận : Có tất cả mười hai đa thức cần tìm thỏa đề :

P(x)=x+1,P(x)=x-1,P(x)=-x-1,P(x)=-x+1

P(x)=x^2-x-1,P(x)=-x^2+x+1,P(x)=x^2+x-1,P(x)=-x^2-x+1

P(x)=x^3+x^2-x-1,P(x)=x^3-x^2-x+1,P(x)=-x^3-x^2+x+1,P(x)=-x^3+x^2+x-1

2 thoughts on “Polynomial”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán về phương trình hàm đa thức | Juliel's Blog

Leave a comment