Inequality

By

Bài toán (Iran 2010) Cho các số dương a,b,c. Chứng minh rằng :

\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{(a+b+c)^2}\geq \dfrac{7}{25}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a+b+c} \right )^2

Lời giải :

Bất đẳng thức trên là thuần nhất nên ta chuẩn hóa a+b+c=1.

Ta cần chứng minh :

\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+1\geq \dfrac{7}{25}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} +\dfrac{1}{c}+1\right )^2

Đổi biến \left ( \dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c} \right )\rightarrow \left ( x,y,z \right ) thì \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1

Cần chứng minh :

x^2+y^2+z^2+1\geq \dfrac{7}{25}(x+y+z+1)^2

Ta chứng minh một kết quả mạnh hơn :

\dfrac{(x+y+z)^2}{3}+1\geq \dfrac{7}{25}(x+y+z+1)^2\Leftrightarrow \dfrac{t^2}{3}+1\geq \dfrac{7}{25}(t+1)^2\;\;\;(t=x+y+z)\Leftrightarrow (t-9)(2t-3)\geq 0

Điều này là luôn đúng vì t=x+y+z\geq \dfrac{9}{1/x+1/y+1/z}=9

Ta có điều phải chứng minh.

One thought on “Inequality”

  1. Pingback: Danh sách tổng hợp các bài toán Bất đẳng thức | Juliel's Blog

Leave a comment